Предположим, что найдётся простое число p, входящее в разложение числа a² на простые множители с показателем меньшим, чем в разложение числа b. То есть, если a делится на pk, но не делится на pk+1, а b делится на pm, но не делится на pm+1, то m > 2k, а значит, m ≥ 2k + 1. Но из делимости a21 на b10 следует, что 21k ≥ 10m. Отсюда 21k ≥ 10(2k + 1), то есть k ≥ 10. Но a < 1000 < 210 ≤ p10 ≤ pk, поэтому a не может делиться на pk. Противоречие.